Question

18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正死棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）当正四棱锥P-ABCD的高为1时，求二面角C-AF-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求二面角C-AF-P的余弦值．

解答 （1）证明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE，
所以AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABFE．
（2）解：由（1）AD⊥平面ABFE，以A为原点，
AB，AE，AD方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，

因为正四棱锥P-ABCD的高为1，AE=AD=2，
则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），P（1，-1，1），
所以$\overrightarrow{AF}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{AC}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{AP}=（1，-1，1）$．
设平面ACF的一个法向量$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=2{x_1}+2{y_1}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=2{x_1}+2{z_1}=0\end{array}\right.$，
取x₁=1，则y₁=z₁=-1，
所以$\overrightarrow m=（1，-1，-1）$．
设平面AFP的一个法向量$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2{x_2}+2{y_2}=0\\{x_2}-{y_2}+{z_2}=0\end{array}\right.$，
取x₂=1，则y₂=-1，z₂=-2，
所以$\overrightarrow n=（1，-1，-2）$，
所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{1+1+2}{{\sqrt{3}\sqrt{6}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，即二面角C-AF-P的余弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．