Question

已知锐角α、β满足

5

[sin(π-

α

2

) +sin(

π

2

+

α

2

) ]• [cos(

π

2

-

α

2

) +cos(π+

α

2

) ]=-1且

1

3

sinβ+sin（2α+β）=0
（1）求cosα的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

（1）∵

5

[sin(π-

α

2

) +sin(

π

2

+

α

2

) ]• [cos(

π

2

-

α

2

) +cos(π+

α

2

) ]=-1，
整理得：

5

（sin

α

2

+cos

α

2

）（sin

α

2

-cos

α

2

）=-1，
则cosα=cos²

α

2

-sin²

α

2

=

5

5

；
（2）∵cosα=

5

5

，且α为锐角，
∴sinα=

2 5

5

，tanα=2，
则sin2α=2sinαcosα=

4

5

，cos2α=cos²α-sin²α=-

3

5

，
又

1

3

sinβ+sin（2α+β）=0，
即

1

3

sinβ+sin2αcosβ+cos2αsinβ=

1

3

sinβ+

4

5

cosβ-

3

5

sinβ=0，
∴tanβ=3，
则tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2+3

1-2×3

=-1，
又α、β为锐角，∴0＜α+β＜π，
则α+β=

3π

4

．