题目内容
13．以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，若直线MF1（F1为椭圆左焦点）是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$-1 | D． | 2-$\sqrt{3}$ |
分析 根据题意思可得：点P是切点，因此PF2=c并且PF1⊥PF2，可得∠PF1F2=30°，可知|PF1|=$\sqrt{3}$c．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a-c．求得a，由离心率公式即可求得椭圆的离心率．
解答 解：设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
∴点P是切点，
∴PF2=c，PF1⊥PF2．
又∵F1F2=2c，
∴∠PF1F2=30°，
∴|PF1|=$\sqrt{3}$c．
根据椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a，
∴|PF2|=2a-c．
∴2a-c=$\sqrt{3}$c，即a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
故选C．
点评 本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，勾股定理及离心率公式，考查计算能力，属于中档题．
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