Question

15．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面 ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
（2）根据直线和平面垂直的定义进行证明．

解答 证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN．
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且$MN=\frac{1}{2}CD$．
由已知$AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$，
∴MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABNM为平行四边形，
所以BN∥AM．
又因为BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．

（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又平面ADEF与平面ABCD垂直且交线为AD，
由面面垂直的性质定理得ED⊥平面ABCD，
所以ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，且$AB=AD=\frac{1}{2}CD=1$可得$BC=\sqrt{2}$，
在△BCD中，$BD=BC=\sqrt{2}，CD=2$，
则BD²+BC²=CD²，即BC⊥BD，
又ED⊥BC，故BC⊥平面BDE．

点评 本题主要考查线面平行的判断以及线面垂直的判断，利用相应的判定定理是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．