Question

已知函数y＝f(x)的定义域为R.且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且当x>0时，f(x)<0恒成立，f(3)＝－3.

(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；

(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；

(3)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈N_＋)上的值域．

Answer 1

 (1)设任意x₁，x₂∈R，且x₁<x₂，

f(x₂)＝f[x₁＋(x₂－x₁)]

＝f(x₁)＋f(x₂－x₁)．

∵x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)<0.

∴f(x₂)＝f(x₁)＋f(x₂－x₁)<f(x₁)，

故f(x)是R上的减函数．

(2)∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立，

∴可令a＝－b＝x，

则有f(x)＋f(－x)＝f(0)．

又令a＝b＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0.

从而任意的x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)．

故y＝f(x)是奇函数．

(3)由于y＝f(x)是R上的单调递减函数，

∴y＝f(x)在[m，n]上也是减少的，

故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)_max＝f(m)，

最小值f(x)_min＝f(n)．

由于f(n)＝f[1＋(n－1)]

＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，

同理f(m)＝mf(1)．

又f(3)＝3f(1)＝－3，

∴f(1)＝－1.

∴f(m)＝－m，f(n)＝－n.

因此函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为[－n，－m]．