题目内容
已知过点P（1，2）做直线与圆C：x2+y2=1相交于A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|
|•|
|=|
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|，证明：点Q总在某定直线上．
| AP |
| BQ |
| AQ |
| BP |
考点：直线与圆的位置关系,平面向量数量积的运算
专题：直线与圆
分析：首先根据|
|•|
|=|
|•|
|，进一步利用分点坐标公式求出①②③④几个式子，进一步结合关系求解．
| AP |
| BQ |
| AQ |
| BP |
解答：
证明：已知过点P（1，2）做直线与圆C：x2+y2=1，交于A、B两点，设Q（x，y），A（x1，y1），
B（x2，y2）且|
|•|
|=|
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|
则：
=
=λ(λ＞0，λ≠1)
利用分点坐标公式：1=
①，2=
②，x=
③，y=
④
所以：①×③得：x=
⑤
②×④得：2y=
⑥
由于A、B在圆上，
所以满足圆的方程．
所以：⑤+⑥得：1-λ2=（1-λ2）（x+2y），
解得：x+2y-1=0
故点Q总在直线x+2y-1=0上．
B（x2，y2）且|
| AP |
| BQ |
| AQ |
| BP |
则：
|
| ||
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|
| ||
|
|
利用分点坐标公式：1=
| x1-λx2 |
| 1-λ |
| y1-λy2 |
| 1-λ |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| y1+λy2 |
| 1+λ |
所以：①×③得：x=
| x12-λ2x22 |
| 1-λ2 |
②×④得：2y=
| y12-λ2y22 |
| 1-λ2 |
由于A、B在圆上，
所以满足圆的方程．
所以：⑤+⑥得：1-λ2=（1-λ2）（x+2y），
解得：x+2y-1=0
故点Q总在直线x+2y-1=0上．
点评：本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用及相关的运算问题．属于基础题型．
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