Question

5．设函数f（x）=-x³+mx²-m（m＞0）
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设g（x）=|f（x）|，求函数g（x）在区间[0，m]上的最大值；
（3）若存在t≤0，使得函数f（x）图象上有且仅有两个不同的点，且函数f（x）的图象在这两点处的两条切线都经过点（2，t），试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的性质，利用导数与函数单调性的关系列出不等式求解即可；
（2）先判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）最大值和最小值，再分类讨论，即可求出函数g（x）在区间[0，m]上的最大值；
（3）假设切点为（x₀，y₀），根据导数的几何意义求出切线方程，将点（2，t）代入，根据t≤0，得到4x₀³-3mx₀²+m≥0，由于函数f（x）图象上有且仅有两个不同的点，则判别式大于0，解得即可．

解答 解：（1）m=1时，f（x）=-x³+x²-1，
f′（x）=-x（3x-2），令f′（x）＜0，
解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（$\frac{2}{3}$，+∞）递减；
（2）由（1）知，f′（x）=-3x²+2mx=-x（x-$\frac{2}{3}$m），
当m＞0时，函数f（x）在（0，$\frac{2}{3}$m）上单调增，在（$\frac{2}{3}$m，m）上单调递减，
∵f（0）=-m＜0，f（m）=-m³+m³-m=-m＜0，
∴f（x）_min=-m，
f（x）_max=-（$\frac{2}{3}$m）³+m×（$\frac{2}{3}$m）²-m=$\frac{4}{27}$m³-m，
当$\frac{4}{27}$m³-m＜0时，即0＜m＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
当$\frac{4}{27}$m³-m≥0时，即m≥$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
若m≥$\frac{4}{27}$m³-m，即$\frac{3\sqrt{3}}{2}$≤m≤$\frac{3\sqrt{6}}{2}$时，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
若m＜$\frac{4}{27}$m³-m，即m＞$\frac{3\sqrt{6}}{2}$时，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为$\frac{4}{27}$m³-m，
综上所述：当0＜m≤$\frac{3\sqrt{6}}{2}$时，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
当m＞$\frac{3\sqrt{6}}{2}$时，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为$\frac{4}{27}$m³-m．
（Ⅲ）假设切点为（x₀，y₀），
∵f′（x）=-3x²+2mx，
∴k=f′（x₀）=-3x₀²+2mx₀，f（x₀）=-x₀³+mx₀²-m，
∴切线方程为y-（-x₀³+mx₀²-m）=（-3x₀²+2mx₀）（x-x₀），即为y=（-3x₀²+2mx₀）x+（2x₀³-mx₀²-m）
∵函数f（x）的图象在这两点处的两条切线都经过点（2，t），
∴t=2（-3x₀²+2mx₀）+（2x₀³-mx₀²-m）=-4x₀³+3mx₀²-m，
∵t≤0，
∴-4x₀³+3mx₀²-m≤0，
即4x₀³-3mx₀²+m≥0，
∵函数f（x）图象上有且仅有两个不同的点，
∴△=9m²-16m＞0，
解得m＞$\frac{16}{9}$
故m的取值范围为（$\frac{16}{9}$，+∞）

点评 本题考查函数单调性性质应用，及利用导数求函数的单调区间的方法，函数的最值问题以及导数的几何意义和方程的解得问题，解题中注意分类讨论思想的运用，属于难题．