Question

14．已知双曲线H：$\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{6}$=1，斜率为2的动直线l交H于A，B两点，则线段AB的中点在一条定直线上，这条定直线的方程为（　　）

• A． x+y=0
• B． x-y=0
• C． x+2y=0
• D． x-2y=0

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀）．利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点为M（x₀，y₀）．
则$\frac{{{x}_{1}}^{3}}{3}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{6}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{6}$=1，
相减可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{3}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{6}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，y₁+y₂=2y₀，x₁+x₂=2x₀，
则2•$\frac{2{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=2，
即x₀=y₀，即x₀-y₀=0．
故线段AB的中点在直线x-y=0上．
故选：B

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”，利用点差法是解决本题的关键．