Question

12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB+sinA=$\frac{\sqrt{3}（sin2A-sin2B）}{2（sinB-sinA）}$．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角满足mtanAtanB=tanC（tanA+tanB），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）使用和差化积公式化简得出tanC；
（II）分离参数利用切化弦化简，用A表示B得出m关于A的函数，根据A的范围和正弦函数的性质得出m的范围．

解答 解：（I）∵sinB+sinA=$\frac{\sqrt{3}（sin2A-sin2B）}{2（sinB-sinA）}$，∴2（sinB+sinA）（sinB-sinA）=$\sqrt{3}$（sin2A-sin2B）．
∴2•2•sin$\frac{B+A}{2}$•cos$\frac{B-A}{2}$•2•cos$\frac{B+A}{2}$•sin$\frac{B-A}{2}$=$\sqrt{3}$•2cos$\frac{2A+2B}{2}$•sin$\frac{2A-2B}{2}$．
∴sin（A+B）sin（B-A）=-$\sqrt{3}$cosC•sin（A-B）．
∵sin（A+B）=sinC，sin（B-A）=-sin（A-B），
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，即tanC=$\sqrt{3}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）∵mtanAtanB=tanC（tanA+tanB）=$\sqrt{3}$（tanA+tanB）
∴m=$\frac{\sqrt{3}（tanA+tanB）}{tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}sinC}{sinAsinB}$=$\frac{3}{2sinAsinB}$．
∵A+B=π-C=$\frac{2π}{3}$．
∴B=$\frac{2π}{3}-A$．
∴sinAsinB=sinAsin（$\frac{2π}{3}-A$）=$\frac{1}{2}$sin²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$．
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1．
∴0＜sinAsinB≤$\frac{3}{4}$
∴$\frac{3}{2sinAsinB}$≥2，
∴m的实数范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，和差化积公式，正弦函数的性质，属于中档题．