Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．

Answer 1

分析 证明PD⊥面ABE，关键是证明AB⊥PD，AE⊥PD．

解答 证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD
又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD；
又设AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，AB⊥AD，∠ABC=60°，
∴CD=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{4}{3}{a}^{2}-2•a•\frac{2\sqrt{3}}{3}a•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
∴AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE．
∵PA=AB=BC=AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
∵CD∩PC=C，
∴AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵AB∩AE=A，
∴PD⊥面ABE．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定，同时考查了空间想象能力，推理论证能力，属于中档题．