Question

某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），且sinα＝．现从山脚的水平公路AB某处C₀开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n－1段依次为C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n－1C_n（如图所示），且C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n－1C_n与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ＝．试问：

   （1）每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？

   （2）若修建xkm盘山公路，其造价为 a万元．修建索道的造价为2a万元/km．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少．

Answer 1

解：（1）在盘山公路C₀C₁上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连结DF，易知DF⊥C₀F．sin∠DFE＝，

sin∠DC₀F＝．

∵DF＝C₀D，DE＝DF，∴DE＝C₀D，

所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍，

所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米．

从山脚至半山腰，盘山公路为10km．从半山腰至山顶，索道长2．5km．（6分）

   （2）设盘山公路修至山高x（0＜x＜2＝km，则盘山公路长为10xkm，

索道长（2－x）km．

设总造价为y万元，

则y＝a＋（2－x）·2a＝（10－5x）a＋10a．

令y′＝－5a＝0，则x＝1．

当x∈（0,1）时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈（1,2）时，y′>0，函数y单调递增，

∴x＝1，y有最小值，即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，

最小值为15a万元．（13分）