Question

19．某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A、B、C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为$\frac{1}{2}$，通过项目B、C的概率均为a（0＜a＜1），且这三个测试项目能否通过相互独立．
（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E（X）（用a表示）；
（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（2）由已知条件结合概率的性质列出方程组，能求出a的取值范围．

解答 （本题满分10分）
解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
$P（X=0）=（1-\frac{1}{2}）C_2^0{（1-a）^2}=\frac{1}{2}{（1-a）^2}$，
$P（X=1）=\frac{1}{2}C_2^0{（1-a）^2}+（1-\frac{1}{2}）C_2^1a（1-a）=\frac{1}{2}（1-{a^2}）$，
$P（X=2）=\frac{1}{2}C_2^1a（1-a）+（1-\frac{1}{2}）C_2^2{a^2}=\frac{1}{2}（2a-{a^2}）$，
$P（X=3）=\frac{1}{2}C_2^2{a^2}=\frac{1}{2}{a^2}$．
从而X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{2}{（1-a）^2}$	$\frac{1}{2}（1-{a^2}）$	$\frac{1}{2}（2a-{a^2}）$	$\frac{a^2}{2}$

X的数学期望为$E（X）=0×\frac{1}{2}{（1-a）^2}+1×\frac{1}{2}（1-{a^2}）+2×\frac{1}{2}（2a-{a^2}）+3×\frac{a^2}{2}=\frac{4a+1}{2}$…（5分）
（2）$P（X=1）-P（X=0）=\frac{1}{2}[（1-{a^2}）-{（1-a）^2}]=a（1-a）$，
$P（X=1）-P（X=2）=\frac{1}{2}[（1-{a^2}）-（2a-{a^2}）]=\frac{1-2a}{2}$，
$P（X=1）-P（X=3）=\frac{1}{2}[（1-{a^2}）-{a^2}]=\frac{{1-2{a^2}}}{2}$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{a（1-a）≥0}\\{\frac{1-2a}{2}≥0}\\{\frac{{1-2{a^2}}}{2}≥0}\end{array}}\right.$和0＜a＜1，得$0＜a≤\frac{1}{2}$，
即a的取值范围是$（0，\;\;\frac{1}{2}]$…（10分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查实数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意概率知识的合理运用．