Question

12．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（1）证明：OE∥平面AB₁C₁；
（2）证明：AB₁⊥A₁C；
（3）求A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理得出OE∥AC₁，故而OE∥平面AB₁C₁；
（2）通过证明A₁C⊥平面AB₁C₁得出AB₁⊥A₁C；
（3）利用V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-A{A}_{1}{B}_{1}}$得出C₁到平面AA₁B₁的距离d，即可得出线面角的正弦值．

解答 证明：（1）∵点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，
∴OE∥AC₁，
又∵EO?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴OE∥平面AB₁C₁，
（2）∵AO⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴AO⊥B₁C₁，
又∵A₁C₁⊥B₁C₁，A₁C₁∩AO=O，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，又A₁C?平面A₁C₁CA，
∴A₁C⊥B₁C₁．
∵AA₁=AC，∴四边形A₁C₁CA为棱形，
∴A₁C⊥AC₁，又B₁C₁∩AC₁=C₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁，又AB₁?平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C．
（3）∵∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2，
∴A₁O=$\frac{1}{2}$A₁C₁=1，AC₁=2，
∴AO=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，A₁B₁=$\sqrt{{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AB₁=$\sqrt{A{{C}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S${\;}_{△A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\frac{2}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•AO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
设点C₁到平面AA₁B₁的距离为d，则V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△A{A}_{1}{B}_{1}}$•d．
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{7}×d$，即d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值为$\frac{d}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，空间距离的计算，属于中档题．