Question

3．已知焦点为F的抛物线y²=2px（p＞0）上有一点A（m，2$\sqrt{2}$），以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2$\sqrt{5}$，则m=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 把A点坐标代入抛物线方程得出m，p的关系，利用抛物线的定义求出圆A的半径，利用垂径定理列方程解出m．

解答 解：∵A（m，2$\sqrt{2}$）在抛物线y²=2px上，∴2pm=8，∴p=$\frac{4}{m}$．
∴抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），即F（$\frac{2}{m}$，0）．
由抛物线的定义可知|AF|=m+$\frac{p}{2}$=m+$\frac{2}{m}$．即圆A的半径r=m+$\frac{2}{m}$．
∵A到y轴的距离d=m，
∴r²-d²=（$\frac{2\sqrt{5}}{2}$）²，即（m+$\frac{2}{m}$）²-m²=5，解得m=2．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的简单性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．