Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$．
（1）证明：a，c，b成等差数列；
（2）求cosC的最小值．．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（A+B）=sinA+sinB，又结合三角形内角和定理，正弦定理得2c=a+b即可得解a，b，c成等差数列； 
（2）由余弦定理及a+b=2c，可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{a}^{2}+3{b}^{2}-2ab}{8ab}$，利用基本不等式可得cosC$≥\frac{1}{2}$，进而可解得cosC的最小值．

解答 解：（1）∵2（tanA+tanB）=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$．
∴2（$\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}$）=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$．
2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB，
即2sin（A+B）=sinA+sinB，
又∵A+B=π-C，
∴2sinC=sinA+sinB，…（4分）
由正弦定理得，2c=a+b所以，a、c、b成等差数列； …（6分）
（2）由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．
∵2c=a+b，所以cosC=$\frac{3{a}^{2}+3{b}^{2}-2ab}{8ab}$$≥\frac{6ab-2ab}{8ab}=\frac{1}{2}$，
∴cosC的最小值为$\frac{1}{2}$…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，等差数列的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．