Question

1．已知函数f（x）=cosαsinx+$\frac{3}{5}$cosx+1，α为常数，α∈[$\frac{3π}{2}$，2π]，且f（$\frac{3π}{2}$）=$\frac{1}{5}$．
（1）求sinα和cos2α的值；
（2）求f（x）的最大值、最小值及最小正周期．

Answer 1

分析 （1）借助α的范围，已知三角函数值求值．（2）通过两角和的正弦公式把三角函数化简，再求最大值、最小值及最小正周期．

解答 解：（1）∵f（$\frac{3π}{2}$）=cosαsin$\frac{3π}{2}$+$\frac{3}{5}$cos$\frac{3π}{2}$+1
=-cosα+1=$\frac{1}{5}$
∴$cosα=\frac{4}{5}$．
∵α∈[$\frac{3π}{2}$，2π]
∴$sinα=-\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$；cos2α=cos²α-sin²α=$\frac{7}{25}$．
（2）由（1）知函数f（x）=cosαsinx+$\frac{3}{5}$cosx+1=$\frac{4}{5}$sinx+$\frac{3}{5}$cosx+1
=sin（x+φ）+1  （cosφ=$\frac{4}{5}$，sinφ=$\frac{3}{5}$）
所以，f（x）的最大值为2，最小值为0，最小正周期为2π．

点评 本题考查了三角函数的基本关系式，会把三角函数进行化简．属于中档题．