Question

18．已知向量$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=0，|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=1，且|${\overrightarrow c$-$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|=1，则|${\overrightarrow c}$|的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$对应点分别为A、B 向量$\overrightarrow c$对应点C，利用向量的几何意义得到坐标运算得到由$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=1知点C在以B为圆心，半径为1的圆上，由最大距离为d+r即可得到．

解答 解：设向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$对应点分别为A、B 向量$\overrightarrow c$对应点C，
由$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=1知点C在以B为圆心，半径为1的圆上．
∴$|{\overrightarrow c}|$_max=|OB|+1=$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$+1
∵$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$²=$|{\overrightarrow a}|$²+$4|{\overrightarrow b}|$²+4$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
又∵$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=0，
∴$|{\overrightarrow a}|$²+2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0
∴2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-1，
∴4$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-2，
∴$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$²=1+4-2=3，
∴$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$=$\sqrt{3}$
∴$|{\overrightarrow c}|$_max=$\sqrt{3}+1$，
故选：D

点评 本题考查向量的数量积的定义及向量的几何意义，考查运用圆的方程解决最值问题是解题的关键．