Question

11．求满足下列条件的椭圆方程：
（1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为$\frac{2}{3}$；
（2）经过点（-6，0）和（0，8）
（3）$a=6，e=\frac{1}{3}$
（4）长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过（3，0）

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），2a=12，a=6，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，c=4，b²=a²-c²=20，即可求得椭圆方程；
（2）由点（-6，0）和（0，8），可知：椭圆的焦点在y轴上，a=8，b=6，即可求得椭圆方程；
（3）由题意可知：由a=6，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，则c=2，b²=a²-c²=32，即可求得椭圆方程；
（4）由题意可知：a=2b，分类，当焦点在x轴上时，椭圆过（3，0），则a=3，b=$\frac{3}{2}$，当焦点在y轴上时，椭圆过（3，0），则b=3，a=6，即可求得椭圆方程．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意可知：2a=12，a=6，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，c=4，
b²=a²-c²=20，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$；
（2）由点（-6，0）和（0，8），可知：椭圆的焦点在y轴上，则$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则a=8，b=6，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（3）由题意可知：由a=6，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，则c=2，
由b²=a²-c²=32，
当椭圆的焦点在x轴上，$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$，
当椭圆的焦点在x轴上，$\frac{{x}^{2}}{32}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$或$\frac{{x}^{2}}{32}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$；
（4）由题意可知：2a=2×2b，即a=2b，
当焦点在x轴上时，椭圆过（3，0），则a=3，b=$\frac{3}{2}$，椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{4}}=1$，
当焦点在y轴上时，椭圆过（3，0），则b=3，a=6，椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{4}}=1$或$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查分类讨论思想，属于中档题．