Question

19．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

分析 如图所示，连接AD，BC．由AB是圆O的直径，可得∠ADB=∠ACB=90°．由EF⊥FB，可得四点A、D、E、F共圆，利用切割线定理：BD•BE=AB•BF=AB•（AB+AF）=AB²+AB•AF．由已知可得：△EFA∽△BCA．可得AB•AF=AE•AC．即可证明．

解答 证明：如图所示，连接AD，BC．
∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵EF⊥FB，∴∠EFB=90°=∠ADB，
∴四点A、D、E、F共圆，
∴BD•BE=AB•BF=AB•（AB+AF）=AB²+AB•AF．
又△EFA与△BCA中，∴∠EAFB=∠BAC，
∠EFA=∠BCA．
∴△EFA∽△BCA．
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，∴AB•AF=AE•AC．
∴AB²=BE•BD-AE•AC．

点评 本题考查了四点共圆、切割线定理、圆的性质、三角形相似判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．