Question

设f（x）=cos²x+

3

2

sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦、余弦公式，以及二倍角公式化简函数f（x）的解析式为

1

2

+sin(2x+

π

6

)，从而求出它的最小正周期．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²x+

3

2

sin2x=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x--------（2分）
=

1

2

+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=

1

2

+sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x------------（4分）
=

1

2

+sin(2x+

π

6

)．---------（6分）
故f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．------------（8分）
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)时，f（x）的单调递增，-----（10分）
解得 kπ-

π

3

≤ x ≤ kπ+

π

6

  (k∈Z)，
故函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．---------（12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，以及二倍角公式的应用，正弦函数的周期性和单调性的应用，属于中档题．