Question

1．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=2，PB与平面PAC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，若这个四棱锥各顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为24π．

Answer 1

分析 判断BO⊥面PAC，可得∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，利用正弦函数即可求得PB，求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：连接AC与BD交于O，连接OP，则
∵BO⊥AC，BO⊥PA，AC∩PA=A
∴BO⊥面PAC，
∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角，
∵AB=2，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∵PB与平面PAC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{PB}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴PB=2$\sqrt{5}$，
∴PA=$\sqrt{20-4}$=4，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的直径为$\sqrt{4+4+16}$=$\sqrt{24}$，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的半径为$\frac{\sqrt{24}}{2}$，
∴球的表面积为4πR²=24π．
故答案为：24π．

点评 本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，考查线面角，正确求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键．