题目内容

12．已知函数f（x）=x（lnx-ax）在区间（${\frac{1}{e}$，e）上有两个极值，则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）．

分析 求出函数的导数，问题等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，求出a的临界值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，
等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，
当a=$\frac{1}{2}$时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，
如图示：
，
由图可知，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点．
则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）
故答案为：$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查函数的导数的应用，二次求导的应用，考查转化思想以及计算能力．

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