Question

如图所示的平面直角坐标系xoy中，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）直线l过Q（0，2）且与轨迹P交于M、N两点，若以MN为直径的圆过原点O，求出直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由d=，知，故点P的轨迹是以D为焦点，l为相应准线的椭圆，由，，能求出点P的轨迹方程．
（2）依题意，设直线l为：y=kx+2，（k≠0，且k存在）由，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直线l与轨迹P交于M、N两点，知，或k＜-，且M、N的横坐标x_M，x_N就是（1+2k²）x²+8kx+6=0，的两个解，于是有：，由此能求出直线l的方程．
解答：解：（1）∵d=，∴，
∴点P的轨迹是以D为焦点，l为相应准线的椭圆，
由，又，
解得a=，c=1，于是b=1，
以CD所在直线为x轴，以CD与圆D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系，
∴所求点P的轨迹方程为．
（2）依题意，设直线l为：y=kx+2，（k≠0，且k存在）
由，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，
∵直线l与轨迹P交于M、N两点，
∴△=64k²-24（1+2k²）＞0，
即2k²-3＞0，∴，或k＜-，
且M、N的横坐标x_M，x_N就是（1+2k²）x²+8kx+6=0，的两个解，
于是有：
又∵MN为直径的圆过原点在椭圆上，
∴，
即x_M•x_N+y_M•y_N=0，
即：x_M•x_N+（kx_M+2）（1+2kx_N）=0
∴，解得：
∴直线l方程为…（14分）
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查运算求解能力和等价转化能力．综合性强，难度大，是高考的重点．