Question

7．已知在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求sin2A；
（Ⅱ）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
（Ⅲ）求tanA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把sinA+cosA=$\frac{1}{5}$两边平方，根据同角的平方关系与二倍角公式即可求出sin2A的值；
（Ⅱ）根据二倍角公式与三角形内角和定理，即可判断A是钝角，△ABC是钝角三角形；
（Ⅲ）根据同角的三角函数关系，求出sinA与cosA，即可求tanA的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，
∴${（sinA+cosA）^2}={sin^2}A+2sinAcosA+{cos^2}A=1+sin2A=\frac{1}{25}$，
解得$sin2A=-\frac{24}{25}$；…（3分）
（Ⅱ）△ABC中，$sin2A=2sinAcosA=-\frac{24}{25}＜0$，
且sinA＞0，∴cosA＜0，A是钝角，
∴△ABC是钝角三角形；…（7分）
（Ⅲ）${（sinA-cosA）^2}=1-sin2A=\frac{49}{25}$，
又知sinA-cosA＞0，
∴$sinA-cosA=\frac{7}{5}$，…（10分）
联立$sinA+cosA=\frac{1}{5}$，
解得$sinA=\frac{4}{5}，cosA=-\frac{3}{5}$，
∴$tanA=-\frac{4}{3}$．…（13分）

点评 本题考查了同角的三角函数关系应用问题，也考查了二倍角公式的应用问题，是基础题目．