Question

，其中ω＞0．
（1）若ω=2，求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式展开，结合二倍角的三角函数公式和辅助角公式进行化简，得f（x）=．因为ω=2，所以f（x）=，利用三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．
（2）因为f（π+x）=f（π-x）对x∈R成立，所以直线x=π是函数图象的对称轴．根据余弦函数图象对称轴方程的公式列式，算出，结合可得，从而得到，最后利用余弦函数单调区间的结论建立关于x的不等式，解之即可得到函数f（x）的单调递减区间．
解答：解：根据题意，得
∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx=（1+cos2ωx）
∴f（x）

=…（5分）
（1）若ω=2，则函数表达式为：，
因此，f（x）的最小正周期…（7分）
（2）∵y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R）
∴直线x=π是函数图象的对称轴，可得或，
因此，．解之得
又∵，∴取整数k=2，得，
可得函数解析式为：
解不等式，得
∴函数f（x）的单调递减区间为．…（13分）
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期和单调减区间，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．