Question

7．（1）若2x²-ax+1＞0在x∈（1，3）上恒成立，求实数a的取值集合；
（2）若2x²-ax+1＞0在a∈（1，3）上恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2x²-ax+1＞0在x∈（1，3）上恒成立，分离参数a，利用导数判断f（x）=$2x+\frac{1}{x}$在x∈（1，3）上的单调性，求得f（x）的取值范围得答案；
（2）更换主元，看作关于a的一次函数，令g（a）=-xa+2x²+1，由2x²-ax+1＞0在a∈（1，3）上恒成立，得到$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2{x}^{2}-x+1≥0}\\{g（3）=2{x}^{2}-3x+1≥0}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 解：（1）若2x²-ax+1＞0在x∈（1，3）上恒成立，即ax＜2x²+1在x∈（1，3）上恒成立，
也就是$a＜2x+\frac{1}{x}$在x∈（1，3）上恒成立，
令f（x）=$2x+\frac{1}{x}$，则f′（x）=2$-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上单调递增，即f（x）＞f（1）=3．
∴a≤3．
则实数a的取值集合为（-∞，3]；
（2）若2x²-ax+1＞0在a∈（1，3）上恒成立，即-xa+2x²+1＞0在a∈（1，3）上恒成立，
令g（a）=-xa+2x²+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2{x}^{2}-x+1≥0}\\{g（3）=2{x}^{2}-3x+1≥0}\end{array}\right.$，解得x$≤\frac{1}{2}$或x≥1．
∴实数x的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了分离变量法及更换主元法，训练了利用导数判断函数的单调性，是中档题．