Question

已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30？，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A炮击的方位角．

Answer 1

分析：为确定海洋动物的位置，首先设直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，据题设，得B（-3，0），A（3，0），C（-5，2

3

），且动物P（x，y）在BC的中垂线l上，由BC中点M的坐标为（-4，

3

），k_BC=-

3

．知l的方程为y-

3

=

3

3

（x+4），由此能求出舰A炮击的方位角．

解答：解：为确定海洋动物的位置，
首先设直线BA为x轴，
线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），
据题设，得B（-3，0），A（3，0），C（-5，2

3

）
且动物P（x，y）在BC的中垂线l上，
∵BC中点M的坐标为（-4，

3

），k_BC=-

3

．
∴l的方程为y-

3

=

3

3

（x+4）
即：y=

3

3

（x+7）…①
又∵|PB|-|PA|=4（公里）
∴P又在以B，A为焦点的双曲线右支上．
双曲线方程为

x2

4

-

y2

5

=1 （x≥2）…②
由①②消去y得  11x²-56x-256=0，
解的x₁=-

32

11

 （舍去），x₂=8．
∴P点坐标为（8，5

3

），
于是tan∠xAP=kAP=

5 3

8-3

=

3

，
∴∠xAP=60°，故舰A炮击的方位角为北偏东30°．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．