在直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$．以点O为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρcos=2$\sqrt{2}$(Ⅰ)将直线l化为直角坐标方程,(Ⅱ)求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

7．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$
（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．

分析（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能示出直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）设点Q的坐标为（$\sqrt{3}cosα，sinα$），点Q到直线l的距离为d=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，由此能求出曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．

解答解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$
∴ρ（cos$θcos\frac{π}{4}$+sin$θsin\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
化简得，ρcosθ+ρsinθ=4，…（1分）
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．…（3分）
（Ⅱ）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（$\sqrt{3}cosα，sinα$），…（4分）
点Q到直线l的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$ …（5分）
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$．…（7分）
当sin（$α+\frac{π}{3}$）=-1时，即$α=2kπ-\frac{5}{6}π$，
d_max=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$．…（9分）
此时，cos$α=cos（-\frac{5}{6}π）$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin$α=sin（-\frac{5}{6}π）=-\frac{1}{2}$，
∴点Q（-$\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}$）．…（10分）

点评本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的一点到直线的距离的最大值及此时点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标与直角坐标的互化公式的合理运用．

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