Question

已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有.

   (1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和;

   (2)若.

     ①求数列与的通项公式;

②试探究:数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

Answer 1

解: (1)因为,所以当时, ,两式相减,得,

而当时,,适合上式,从而……………………3分

又因为是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以………………4分

从而数列的前项和…………6分

(2)①设,则,所以,

设的公比为,则对任意的恒成立  ……………8分

即对任意的恒成立,

又,故,且……………………………………………………10分

从而……………………………………………………………………11分

②假设数列中第k项可以表示为该数列中其它项

的和,即,从而,易知  (*)………13分

又,

所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在…………………………………………16分