Question

5．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan$\frac{α+β}{2}$=1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用正切的两角和公式求得tan（α+β）的值，进而求得α+β，$\frac{α+β}{2}$的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．

解答 解：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{2+3}{1-6}$=-1，
∵α、β都是锐角，
∴α+β=$\frac{3π}{4}$，可得：$\frac{α+β}{2}$=$\frac{3π}{8}$，tan$\frac{α+β}{2}$＞0，
∵tan（α+β）=-1=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$，整理可得：tan²$\frac{α+β}{2}$-2tan$\frac{α+β}{2}$-1=0，
∴解得：tan$\frac{α+β}{2}$=1+$\sqrt{2}$，或1-$\sqrt{2}$（舍去）．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的正切函数的公式的应用，考查了计算能力和转化思想，注重了对学生基础知识再现能力的考查，属于中档题．