Question

若方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均小于1，求实数a的范围．

Answer 1

分析：方程（1+a）x²-3ax+4a=0是一个类二次方程，我们要首先分1+a=0和1+a≠0两种情况进行分类讨论，当方程为二次方程时所有根均小于1，情况比较复杂，故我们可以先讨论方程的两根均不小于1的情况，再利用补集思想求出满足条件的实数a的范围．

解答：解：若1+a=0，即a=-1
则原方程可化为：3x-4=0，解得x=

4

3

，不满足要求
若1+a≠0，即a≠-1时，
若方程（1+a）x²-3ax+4a=0有根，则△=9a²-16a²-16a≥0
即-

16

7

≤a≤0
若方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均不小于1
则

3a 1+a ≥2 4a 1+a ≥1

，即-

16

7

≤a-1
故方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均小于1时，-1＜a≤0
即实数a的范围为，-1＜a≤0

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，利用“正难则反”的思想，先求方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均不小于1时，实数a的范围，再利用补集思想进行解答是本题的关键．