Question

16．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，
（Ⅰ）求证：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）若AD=CD，AB=CB，求证：AC⊥BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证BD∥面EFG，只需通过E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，证明BD平行于面EFG内的直线FG，即可．
（Ⅱ）取AC中点H，连结DH，BH，只要证明AC⊥平面BHD，由线面垂直的性质可证．

解答 （Ⅰ）证明：∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，
∴FG∥BD，
又∵FG?面EFG，BD?面EFG．
∴BD∥面EFG．
（2）取AC中点H，连结DH，BH，
在△ACD中，因为AD=CD，H是AC中点，所以DH⊥AC
同理可证，BH⊥AC
∵BH∩DH=H，
∴AC⊥平面BHD
∵BD?平面BHD，
∴AC⊥BD．

点评 本题是中档题，考查了线面平行的判定和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练掌握相关的定理，正确运用．常考题型．