Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+1a_n-1=a_n，（n≥2），则a₂₀₁₃的值等于（　　）

• A、3
• B、1
• C、

  1

  3

• D、3²⁰¹³

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得an+1=

an

an-1

，n≥2，由此利用递推思想求出数列的前8项，得到数列{a_n}是周期为6的周期数列，由此能求出a₂₀₁₃=a₃=3．

解答：解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+1a_n-1=a_n，（n≥2），
∴an+1=

an

an-1

，n≥2，
∴a₃=

3

1

=3，a4=

3

3

=1，a5=

1

3

，a6=

1 3

1

=

1

3

，a7=

1 3

1 3

=1，a8=

1

1 3

=3，…
∴数列{a_n}是周期为6的周期数列，
∵2013=335×6+3，
∴a₂₀₁₃=a₃=3．
故选：A．

点评：本题考查数列的第2013项的求法，是中档题，解题的关键是推导出数列{a_n}是周期为6的周期数列．