Question

20．已知函数f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x），a＞0且a≠1，设函数h（x）=f（x）+g（x）．
（1）当a=2时，求h（x）的定义域和值域；
（2）当f（x）＞g（x）时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出h（x）的定义域，通过换元，求出函数的值域即可；
（2）问题转化为log_a（2+x）＞log_a（2-x），通过讨论a的范围，得到关于x的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}2+x＞0\\ 2-x＞0\end{array}\right.$，得：-2＜x＜2，
∴h（x）的定义域为{x|-2＜x＜2}，
∴$h（x）={log_2}（4-{x^2}）$，
令u=4-x²，则0＜u≤4，
∴log₂u≤2，即${log_2}（4-{x^2}）≤2$，
∴h（x）的值域为（-∞，2]．
（2）∵f（x）＞g（x），
∴log_a（2+x）＞log_a（2-x），
当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}2+x＞2-x\\ 2-x＞0\end{array}\right.$∴0＜x＜2；
当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}2+x＜2-x\\ 2+x＞0\end{array}\right.$∴-2＜x＜0，
综上所述，当a＞1时，x的取值范围为{x|0＜x＜2}；
当0＜a＜1时，x的取值范围为{x|-2＜x＜0}．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域、值域问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．