Question

15．已知函数f（x）=cos2x+2sinx
（Ⅰ）求f（-$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数解析式计算f（-$\frac{π}{6}$）即可；
（Ⅱ）化f（x）为sinx的二次函数，利用三角函数的有界性和二次函数的性质求出f（x）的最值即可．

解答 解：函数f（x）=cos2x+2sinx，
（Ⅰ）f（-$\frac{π}{6}$）=cos（-$\frac{π}{3}$）+2sin（-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$+2×（-$\frac{1}{2}$）
=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f（x）=（1-2sin²x）+2sinx=-2${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
∴当x=$\frac{π}{6}$+2kπ或x=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$；
当x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值-3；
∴f（x）的值域是[-3，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数求值的应用问题，也考查了二次函数的性质与应用问题，是基础题目．