Question

15．已知点O是△ABC所在平面内一点，且点O不在△ABC三边所在直线上，设点P满足$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$+λ₃$\overrightarrow{OC}$（其中λ₁∈R，i=1，2，3），则下列叙述中正确的是（　　）
①当λ₁=1且λ₂=λ₃=0时，点P与点A重合
②当λ₁+λ₂=1且λ₃=0时，点P在直线AB上
③当λ₁+λ₂+λ₃=1且λ₁＞0（其中i=1，2，3）时，点P在△ABC内．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据向量的几何意义，向量的数乘运算，三点共线的充要条件便可判断①②叙述正确，再根据向量减法的几何意义即可由③的条件得到$\overrightarrow{CP}={λ}_{1}\overrightarrow{CA}+{λ}_{2}\overrightarrow{CB}$，而根据条件知0＜λ₁+λ₂＜1，并且存在k＞1，使得kλ₁+kλ₂=1，并且kλ₁，kλ₂∈（0，1），$k\overrightarrow{CP}=k{λ}_{1}\overrightarrow{CA}+k{λ}_{2}\overrightarrow{CB}$，这样便可得出点P在△ABC内，从而判断叙述③正确，这样即可得出正确的选项．

解答 解：①λ₁=1，λ₂=λ₃=0时，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}$$+0\overrightarrow{OB}+0\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$；
∴点P和A重合，该叙述正确；
②λ₁+λ₂=1，λ₃=0时，$\overrightarrow{OP}={λ}_{1}\overrightarrow{OA}+{λ}_{2}\overrightarrow{OB}$；
∴P，A，B三点共线；
即点P在直线AB上，该叙述正确；
③λ₁+λ₂+λ₃=1时，λ₃=1-λ₁-λ₂；
∴$\overrightarrow{OP}={λ}_{1}\overrightarrow{OA}+{λ}_{2}\overrightarrow{OB}+（1-{λ}_{1}-{λ}_{2}）$$\overrightarrow{OC}$
=${λ}_{1}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）+{λ}_{2}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）+\overrightarrow{OC}$
=${λ}_{1}\overrightarrow{CA}+{λ}_{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{OC}$；
∴$\overrightarrow{CP}={λ}_{1}\overrightarrow{CA}+{λ}_{2}\overrightarrow{CB}$；
∵0＜λ₁+λ₂＜1；
∴存在k＞1，使k（λ₁+λ₂）=1；
如图，设$\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{CP}=k{λ}_{1}\overrightarrow{CA}+k{λ}_{2}\overrightarrow{CB}$：

∵kλ₁+kλ₂=1，且kλ₁，kλ₂∈（0，1）；
∴D在边AB上，不包括A，B点；
∴P在线段CD上，且不包括C，D两点；
∴点P在△ABC内，即该叙述正确；
∴叙述正确个数为3．
故选D．

点评 考查向量、向量加法、减法及向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1．