Question

20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2sinCcosB=2sinA+sinB，△ABC的面积为S=$\frac{\sqrt{3}}{12}$c，则ab的最小值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由三角内角和定理，将原式转化成2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，利用两角和的正弦公式，求得cosC=-$\frac{1}{2}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三角形的面积公式求得c与ab的关系，再根据余弦定理及基本不等式，求得ab的最小值．

解答 解：在△ABC中，由A+B+C=π知，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
2sinCcosB=2sinA+sinB，
∴2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，
∴2sinCcosB-2sinBcosC-2cosBsinC=sinB，
∴-2sinBcosC=sinB，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
三角形的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{12}$c，
∴c=3ab，
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC，
整理可得9a²b²=a²+b²+ab≥3ab，当且仅当a=b取等号，
∴ab≥$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．