Question

12．已知奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x-1）＞0的解集是（　　）

• A． （-3，-1）
• B． （-3，1）∪（2，+∞）
• C． （-3，0）∪（3，+∞）
• D． （-1，0）∪（1，3）

Answer 1

分析 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合试题．求不等式xf（x-1）＞0的解集实质上求分段函数为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x-1）＞0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x-1）＜0}\end{array}\right.$ 的x取值范围．又利用奇函数的性质得出f（-2）=0，从而得出$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{0＜x-1＜2}\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-2＜x-1＜0}\end{array}\right.$．

解答 解：∵函数f（x）为奇函数，且在（-∞，0）上单调递减
∴f（x） 在（0，+∞）上单调递减；
∵xf（x-1）＞0 可变形为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x-1）＞0}\end{array}\right.$  （1）或   $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x-1）＜0}\end{array}\right.$   （2）
又∵函数f（x）为奇函数，且f（2）=0∴f（-2）=-f（2）=0；
∴不等式组（1）的解为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{0＜x-1＜2}\end{array}\right.$⇒1＜x＜3
    不等式组（2）的解为$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-2＜x-1＜0}\end{array}\right.$⇒-1＜x＜0
∴不等式xf（x-1）＞0的解集是{x|-＜x＜0或1＜x＜3}
因此答案为：D

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合试题，属于高考常考提醒．考生在解函数类型的题目时，尤其要注重函数性质的灵活应用．