题目内容

已知f（x）=a2x-x3，x∈（-2，2）为正常数．
（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函数f（x）的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y=f（x）的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x=x1时，f（x）取得最大值．试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函数g（x），使当x∈（-2，2）时，g（x）=f（x），当x∈D时，g（x）取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列．
【答案】分析：（1）充分分析已知不等式的结构特点即可推广出结论：（当且仅当a=b=c时取等号）．
（2）首先对函数进行转化，进而将问题转化为：在（0，2）上恒成立，即可获得a的一个条件，基本不等式的推广即可找到函数最大值的表达形式，即可获得a的另一个条件，考虑到函数的奇偶性和最值性进而问题即可获得解答；
（3）根据题意题意，结合函数的周期性特点选择四个周期函数即可．
解答：解：（1）若a、b、c∈R+，则（当且仅当a=b=c时取等号）．
（2）f（x）=ax2-在（0，2）上恒成立，
即a2＞在（0，2）上恒成立，
∵∈（0，2），∴a2≥2，即a≥，
又∵
∴x2=a2-，即x=a时，
fmax=，
又∵x=a∈（0，2），∴．综上，得．
易知，f（x）是奇函数，∵x=a时，函数有最大值，∴x=-a时，函数有最小值．
故猜测：时，f（x）单调递减；时，f（x）单调递增．
（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可．
如对x∈（4k-2，4k+2），k∈N，x-4k∈（-2，2），此时g（x）=g（x-4k）=f（x-4k），
即g（x）=a2（x-4k）-，x∈（4k-2，4k+2）．k∈N．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了推广的思想、恒成立的思想以及构造的思想．值得同学们体会反思．
练习册系列答案
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已知f（x）=a2x-
1
2
x3，x∈（-2，2）为正常数．
（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则
a+b
2
≥
ab
（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函数f（x）的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y=f（x）的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x=x1时，f（x）取得最大值．试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函数g（x），使当x∈（-2，2）时，g（x）=f（x），当x∈D时，g（x）取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列．
已知f（x）=a2x-2ax+1+2，（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．
（Ⅰ）若a=2，求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，若f（x）≤3对x∈[-1，2]恒成立，求a的范围．
已知f（x）=a2x-2ax+1+2，（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．
（Ⅰ）若a=2，求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，若f（x）≤3对x∈[-1，2]恒成立，求a的范围．
已知f（x）=a2x-x3，x∈（-2，2）为正常数．
（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函数f（x）的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y=f（x）的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x=x1时，f（x）取得最大值．试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函数g（x），使当x∈（-2，2）时，g（x）=f（x），当x∈D时，g（x）取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列．

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