Question

10．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）；
（1）求证：函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
（2）当a＞1时，若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；
（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e-1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的单调性，判断f（1）与f（-1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范围．

解答 解：（1）证明：函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
令h（x）=f'（x）=2x+（a^x-1）lna，h'（x）=2+a^xln²a，
当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，
又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（-∞，0），
故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-∞，0）；
（2）因为存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1成立，
而当x∈[-1，1]时|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，
所以只要f（x）_max-f（x）_min≥e-1，
又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

所以f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，
所以当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值f（x）_min=f（0）=1，
f（x）的最大值f（x）_max为f（-1）和f（1）中的最大值．
因为f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（$\frac{1}{a}$+1+lna）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
令g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，因为g′（a）=1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）²＞0，
所以在g（a）在a∈（1，+∞）上是增函数．
而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（-1）；
当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（-1）
所以，当a＞1时，f（1）-f（0）≥e-1，即a-lna≥e-1，
而函数y=a-lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；
综上可知，所求a的取值范围为[e，+∞）．

点评 本题考查了基本函数导数公式，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．