题目内容
（2012•三明模拟）已知线段P1P2，|P1P2|=1，对于自然数n（n≥3）有
=2
，则|
|+|
|+|
|+…+|
|+…=（ ）
| Pn-2Pn |
| PnPn-1 |
| P1P3 |
| P2P4 |
| P3P5 |
| Pn-2Pn |
分析：记P1，P2，P3，…为连续的点，由条件
=2
得到连续点构成的向量之间的关系，即
=-3
，从而得到各向量模之间的等比关系，求出前n个向量模的和，然后取极限值．
| Pn-2Pn |
| PnPn-1 |
| Pn-2Pn |
| Pn-1Pn |
解答：解：由
=
+
=2
，所以
=-3
所以
=
，因为|P1P2|=1，所以|
|=
且|
|，|
|，…，|
|，…
构成以为首项，以为公比的等比数列，又因为
=2
，所以|
|=2|
|
则|
|+|
|+|
|+…+|
|+…
=
(|
|+|
|+…+|
|)
=
2(|
|+|
|+…+|
|)
=
2[
+(
)2+…+(
)n-2]
=
[1-(
)n-1]=1．
故选C．
| Pn-2Pn |
| Pn-2Pn-1 |
| Pn-1Pn |
| PnPn-1 |
| Pn-2Pn |
| Pn-1Pn |
所以
|
| ||
|
|
| 1 |
| 3 |
| P2P3 |
| 1 |
| 3 |
| P2P3 |
| P3P4 |
| Pn-1Pn |
构成以为首项，以为公比的等比数列，又因为
| Pn-2Pn |
| Pn-1Pn |
| Pn-2Pn |
| Pn-1Pn |
则|
| P1P3 |
| P2P4 |
| P3P5 |
| Pn-2Pn |
=
| lim |
| n→∞ |
| P1P3 |
| P2P4 |
| Pn-1Pn |
=
| lim |
| n→∞ |
| p2p3 |
| p3p4 |
| pn-1pn |
=
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| 3 |
故选C．
点评：本题考查了向量的模的求法，考查了数学中的转化思想，解答的关键就是通过已知条件把联系不是很明显的向量的模转化为我们熟悉的数列求和问题，题目构思新颖，设置较好．
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