题目内容
设长方体的对角线的长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是（ ）A．
B．
C．8
D．
【答案】分析：由题意作出图形，利用解直角三角形的知识求出长方体的过一个顶点的三条棱长，从而求出长方体的体积．
解答：解：如图，
由题意可知：与对角线BH成60°角的一条棱AB和对角线所在的直角三角形中，和棱AB所对的角∠AHB是30°，可得棱AB的长度为2，
同理EH的长度也为2，在直角三角形HAB中，由勾股定理可得AH=
，
又在直角三角形中HEA中，EA=
．
所以，长方体的体积是V=2×
．
故选B．
点评：本小题主要考查几何体的体积，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属中档题．
解答：解：如图，
由题意可知：与对角线BH成60°角的一条棱AB和对角线所在的直角三角形中，和棱AB所对的角∠AHB是30°，可得棱AB的长度为2，
同理EH的长度也为2，在直角三角形HAB中，由勾股定理可得AH=
，又在直角三角形中HEA中，EA=
．所以，长方体的体积是V=2×
．故选B．
点评：本小题主要考查几何体的体积，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属中档题．
练习册系列答案
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设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°，则长方体的体积是（ ）
A、27
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B、8
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C、8
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| D、16 |
B.8
C.8
D.16
，＋∞) B.(
，1) C.(0，1) D.(0，
)
