题目内容
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通过车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道两侧是与底面垂直的墙，高度为3m，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：椭圆的应用
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）先建立直角坐标系，找到对应椭圆方程再把b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，即可求出隧道设计的拱宽l是多少；
（2）转化为求半椭圆的面积最小值问题，对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面积以及满足要求的拱高h和拱宽l．
（2）转化为求半椭圆的面积最小值问题，对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面积以及满足要求的拱高h和拱宽l．
解答：
解：（1）如图建立直角坐标系，
则点P（10，2），椭圆方程为
+
=1．
将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，
得a=6
，此时l=2a=12
，
因此隧道的拱宽约为12
m．（5分）
（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，
由柱体的体积公式可知：只需半椭
圆的面积最小即可．
由椭圆方程
+
=1，得
+
=1．
因为
+
≥
，即ab≥40，（8分）
所以半椭圆面积S=
≥20π．（10分）
当S取最小值时，a=10
，b=2
．
此时l=2a=20
，h=b+3=2
+3，（12分）
故当拱高为（2
+3）m、拱宽为20
m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，（13分）
则点P（10，2），椭圆方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，
得a=6
| 5 |
| 5 |
因此隧道的拱宽约为12
| 5 |
（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，
由柱体的体积公式可知：只需半椭
圆的面积最小即可．
由椭圆方程
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 102 |
| a2 |
| 22 |
| b2 |
因为
| 102 |
| a2 |
| 22 |
| b2 |
| 2×10×2 |
| ab |
所以半椭圆面积S=
| πab |
| 2 |
当S取最小值时，a=10
| 2 |
| 2 |
此时l=2a=20
| 2 |
| 2 |
故当拱高为（2
| 2 |
| 2 |
点评：本题是对椭圆方程在实际生活中应用的考查，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
世纪百通期末金卷系列答案
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| C、{x|-1≤x≤2} |
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+x2=1，过点P(
，
)的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（ ）
| y2 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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