Question

11．已知函数f（x）=|x|+|x-$\frac{1}{2}$|，A为不等式f（x）＜x+$\frac{1}{2}$的解集．
（1）求A；
（2）当a∈A时，试比较|log₂（1-a）|与|log₂（1+a）|的大小．

Answer 1

分析 （1）不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得A．
（2）当a∈A时，0＜a＜1，可得|log₂（1-a）|与|log₂（1+a）|的符号，去掉绝对值，用比较法判断|log₂（1-a）|与|log₂（1+a）|的大小．

解答 解：（1）函数f（x）=|x|+|x-$\frac{1}{2}$|，A为不等式f（x）＜x+$\frac{1}{2}$的解集．
而不等式即|x|+|x-$\frac{1}{2}$|＜x+$\frac{1}{2}$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-x+\frac{1}{2}-x＜x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\frac{1}{2}}\\{x+\frac{1}{2}-x＜x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{x+x-\frac{1}{2}＜x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$③．
解①求得x∈∅，解②求得0＜x≤$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$＜x＜1．
综上可得，不等式的解集为A={x|0＜x＜1 }．
（2）当a∈A时，0＜a＜1，1-a∈（0，1），log₂（1-a）＜0，|log₂（1-a）|=-log₂（1-a）；
1+a∈（1，2），log₂（1+a）＞0，|log₂（1+a）|=log₂（1+a）；
|log₂（1-a）|-|log₂（1+a）|=-log₂（1-a）-log₂（1+a）=-log₂（1-a）（1+a）=-log₂（1-a²）=${log}_{2}\frac{1}{1{-a}^{2}}$；
∵1-a²∈（0，1），∴$\frac{1}{1{-a}^{2}}$＞1，∴${log}_{2}\frac{1}{1{-a}^{2}}$＞0；
∴|log₂（1-a）|＞|log₂（1+a）|．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，对数的运算性质应用，比较两个数的大小的方法，属于中档题．