Question

已知函数,,且点处取得极值．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导，利用求值；（2）分离常数，构造函数，转化为求函数的值域问题；（3）作差构造函数，将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.

解题思路: （1）求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值；

（2）若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立.

试题解析：（Ⅰ）∵， ∴

∵函数在点处取得极值，

∴，即当时，

∴，则得.经检验符合题意 5分

（Ⅱ）∵,∴,

∴.

令, 6分

则.

∴当时，随的变化情况表：

	1	（1,2）	2	（2，3）	3
		+	0	-
		↗	极大值	↘

计算得：，，，

所以的取值范围为。 10分

（Ⅲ）证明：令，

则， 11分

令，则 ，

函数在递增，在上的零点最多一个 12分

又，，

存在唯一的使得， 13分

且当时，；当时，.

即当时，；当时，.

在递减，在递增，

从而. 14分

由得即，两边取对数得：，，

，

从而证得.

考点：1.函数的极值与最值；2.导数的应用；3.函数的单调性.