Question

已知f（x）=2012sinx+2011x³，且x∈（-1，1），若f（1-a）+f（1-a²）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A．（0，2）
• B．(-1，

  2

  )
• C．（-2，0）
• D．(1，

  2

  )

Answer 1

分析：在区间（-1，1）上，由f（-x）=-f（x）、f^′（x）＞0可知函数f（x）是奇函数且单调递增，由此可求出a的取值范围，进而选出答案．

解答：解：∵f（x）=2012sinx+2011x³，?x∈（-1，1），则f（-x）=-f（x），∴f（x）在区间（-1，1）上是奇函数；
又f^′（x）=2012cosx+6033x²，x∈（-1，1），∴f^′（x）＞0，∴f（x）在区间（-1，1）上单调递增；
由f（1-a）+f（1-a²）＜0，∴f（1-a）＜-f（1-a²），∴f（1-a）＜f（a²-1），
∴-1＜1-a＜a²-1＜1，解之得

a＜2 - 2 ＜a＜ 2 a＞1或a＜-2

  即1＜a＜

2

，
所以a的取值范围是（1，

2

）．
故选 D．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，充分理解函数的奇偶性、单调性是解决问题的关键．