Question

如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB=α，α的最大值为60°．
（1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
（2）求塔的高AB．

Answer 1

分析：（1）要顺利求解本题，其关键是确定沿AB测塔的仰角，其最大仰角在何处达到，该处与塔底间的距离是多少？
（2）求得该距离，则在相应的直角三角形中，就不难求得塔高．

解答：解：（1）依题意知在△DBC中∠BCD=30°，∠DBC=180°-45°=135°
CD=6000×

1

60

=100（m），∠D=180°-135°-30°=15°，------（3分）
由正弦定理得

CD

sin∠DBC

=

BC

sin∠D

∴BC=

CD•sin∠D

sin∠DBC

=

100×sin15°

sin135°

=

100× 6 - 2 4

2 2

=

50( 6 - 2 )

2

=50(

3

-1)（m）-----（6分）
在Rt△ABE中，tanα=

AB

BE

∵AB为定长∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD----------------（8分）
当BE⊥CD时，在Rt△BEC中EC=BC•cos∠BCE=50(

3

-1)•

3

2

=25(3-

3

)（m），--------------------（9分）
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，
则t=

EC

6000

×60=

25(3- 3 )

6000

×60=

3- 3

4

（分钟）----------------------------------（10分）
（2）由（1）知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE=BC•sin∠BCD
∴AB=BE•tan60°=BC•sin∠BCD•tan60°=50(

3

-1)•

1

2

•

3

=25(3-

3

)（m）
即所求塔高为25(3-

3

)m．----------------------------------------------（14分）

点评：解本题的关键是确定何处测得最大仰角，然后转化成解三角形问题来解决．