Question

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}，可以推测：
（Ⅰ）b₂₀₁₄是数列{a_n}中的第

 

项；
（Ⅱ）若n为正偶数，则b₁-b₃+b₅-b₇+…+（-1）^n-1b_2n-1

 

．（用n表示）

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，由a₁=1，当n≥2时，a_n-a_n-1=n，利用“累加求和”可得a_n=

n(n+1)

2

．只有当n或n+1能够被5整除时，a_n可被5整除，
因此数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}为：a₄，a₅，a₉，a₁₀，…，可得b₂₀₁₄是数列{a_n}中的第

2014

2

×5项．
（II）由（I）可得：b₁-b₃=a₄-a₉=

4×5

2

-

9×10

2

=-35，b₅-b₇=a₁₄-a₁₉，b₉-b₁₁=a₂₄-a₂₉，…．可得b_2n-3-b_2n-1=a_5n-6-a_5n-1=-25n+15，
可得b₁-b₃+b₅-b₇+…+（-1）^n-1b_2n-1=-25×（2+4+…+2k）+15k（n=2k，k∈N^*）．

解答： 解：（I）将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，∵a₁=1，当n≥2时，a_n-a_n-1=n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

．
只有当n或n+1能够被5整除时，a_n可被5整除，
因此数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}为：a₄，a₅，a₉，a₁₀，…，
可得b₂₀₁₄是数列{a_n}中的第

2014

2

×5=5035项．
（II）由（I）可得：b₁-b₃=a₄-a₉=

4×5

2

-

9×10

2

=-35，b₅-b₇=a₁₄-a₁₉，b₉-b₁₁=a₂₄-a₂₉，…．
∴b_2n-3-b_2n-1=a_5n-6-a_5n-1=

(5n-6)(5n-5)

2

-

(5n-1)(5n-1+1)

2

=-25n+15，
∴b₁-b₃+b₅-b₇+…+（-1）^n-1b_2n-1=-25×（2+4+…+2k）+15k=-25k²-10k=-

25n2+20n

4

（n=2k，k∈N^*）．
故答案分别为：5035，-

25n2+20n

4

（n=2k，k∈N^*）．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、整数的整除理论、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．