Question

13．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%-60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．

（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；
（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）

Answer 1

分析 设A_i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”（i=1，2，…，9）．根据题意，$P（{A_i}）=\frac{1}{9}$，且事件A_i与A_j互斥．
（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则B=A₄∪A₇．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．
（Ⅱ）由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，结合图象，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．
（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．

解答 解：设A_i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”（i=1，2，…，9）．
根据题意，$P（{A_i}）=\frac{1}{9}$，且事件A_i与A_j互斥．…（1分）
（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，
则B=A₄∪A₇．…（2分）
所以$P（B）=P（{A_4}∪{A_7}）=P（{A_4}）+P（{A_7}）=\frac{2}{9}$．…（5分）
（Ⅱ）由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，…（6分）
$P（X=0）=P（{A_4}∪{A_7}∪{A_8}）=P（{A_4}）+P（{A_7}）+P（{A_8}）=\frac{1}{3}$，…（7分）
$P（X=1）=P（{A_3}∪{A_5}∪{A_6}∪{A_9}）=P（{A_3}）+P（{A_5}）+P（{A_6}）+P（{A_9}）=\frac{4}{9}$，…（8分）
$P（X=2）=P（{A_1}∪{A_2}）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{2}{9}$．       …（9分）
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

…（10分）
故X的期望$EX=0×\frac{1}{3}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}=\frac{8}{9}$．…（11分）
（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…（13分）

点评 本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、互斥事件与古典概率计算公式、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．