Question

已知函数f（x）=sinx，g（x）=x²+ax+2，如果对于任意的x₁∈[0，2π]，都存在x₂∈R，得f（x₁）=g（x₂）成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,二次函数的性质

专题：常规题型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：对于任意的x₁∈[0，2π]，都存在x₂∈R，得f（x₁）=g（x₂）成立，只须让函数f（x）在x₁∈[0，2π]的值域是函数g（x）值域的子集即可．

解答： 解：函数f（x）=sinx在x₁∈[0，2π]的值域为[-1，1]，
对于任意的x₁∈[0，2π]，都存在x₂∈R，得f（x₁）=g（x₂）成立，
须让函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集
∴函数g（x）的最小值要小于等于-1，
∴-

a2

4

+2≤-1，解得a≤-2

3

或a≥2

3

．
故答案为：a≤-2

3

或a≥2

3

．

点评：解决本题的关键是把任意性和存在性问题转化成求两个函数的值域问题解决．